|
|
 |
 |
|
 |
|
|
|
(Feb. 04) Los números enamorados
MARÍA VICTORIA VEGUÍN CASAS |
|
|
|
En la Edad Media los griegos, los árabes y los hebreos empleaban diversos sistemas de numeración, entre ellos, el cálculo con los dedos, el sistema sexagesimal, las letras numerales y el sistema de numeración decimal que empleamos en la actualidad. |
|
|
|
|
|
|
|
Los sistemas basados en las letras numerales se habían formado mediante la asignación de un valor numérico a cada una de las letras del alfabeto. Estos sistemas daban lugar a la práctica, muy frecuente entre los intelectuales, de hallar el equivalente numérico de una palabra o de un grupo de palabras. El equivalente numérico de una palabra o de una frase se obtenía mediante la suma de los equivalentes de todas las letras que formaban la palabra o la frase.
En la Historia de las cifras de G. Ifrah se cuenta una bella y singular leyenda:
Un príncipe descubrió que su equivalente numérico era 220 y pensó que alcanzaría la felicidad si se casaba con una mujer cuyo equivalente numérico fuese 284. La causa de esta elección era que el príncipe sabía que los números 220 y 284 cumplían la propiedad de que la suma de los divisores de cada uno de ellos es igual al otro.
En efecto:
La suma de los divisores de 220 es
1+2+4+ 5+10+11+20+22+44+55+110= 284
La suma de los divisores de 284 es
1+2+4+71+142 = 220
Los pares de números enteros que cumplen la propiedad anterior se llaman en matemáticas números amigos. La tradición atribuye a la escuela pitagórica el descubrimiento de los números amigos. La amistad era algo esencial entre los miembros de esta secta. Los únicos números amigos que conocieron los griegos fueron el 220 y el 284, a los que después de la leyenda, se les llamó números enamorados.
Tuvieron que transcurrir varios siglos para que otros matemáticos descubriesen una regla general que permitiese encontrar más pares de números amigos. La solución a este problema entra dentro de la teoría de números, que estudia los números enteros positivos, en principio una rama de las matemáticas sencilla pero en la que se han formulado algunos de los problemas más difíciles de la historia de las matemáticas como la conjetura de Goldbach: “Todo entero par mayor que dos puede escribirse como la suma de dos números primos”.
Entre los autores que han aportado nuevos resultados a la búsqueda de números amigos están TB Qurra, Fermat, Descartes y Euler. El matemático árabe Thabit ibn Qurra, que vivió en el siglo IX, llevó a cabo un gran número de traducciones e investigó en diversos campos de la matemática, entre ellos la geometría, se le atribuye una demostración del Teorema de Pitágoras y la teoría de números. Encontró la siguiente fórmula:
Dos números N y M son amigos si se pueden descomponer en factores de la forma
N = 2p. q. r y M = 2p . s siendo q, r y s primos de la forma
q = 3. 2p-1 - 1, r = 3. 2p - 1 y s = 9.22p-1 - 1. |
Empleando esta regla encontró una segunda pareja de números amigos
N= 24 . 23 . 47 y M = 24. 1151 que son respectivamente 17296 y 18 416.
Unos seiscientos años después Fermat (1601-1659) redescubrió de nuevo la regla anterior encontrando la misma pareja de números amigos que TB Qurra.
En 1638 Descartes comunicó a su amigo Mersenne en una carta que había encontrado la tercera pareja de números amigos que eran los números 9363584 y 9437056. Este par de números responden a los anteriores tomando p = 7
N= 27 . 191.383 = 9363584 y M = 27. 73727 = 9437056
Euler se apasionó por la teoría de números probablemente influido por la amistad que mantuvo con Goldbach. Cuatro de los primeros volúmenes de su Opera Omnia están dedicados a la teoría de números. En el primer volumen hay un artículo dedicado a los números amigos. Hay que destacar que antes de Euler solamente se conocían los tres pares de números amigos que ya hemos visto y Euler fue capaz de proporcionar 59 pares diferentes.
No todos los números amigos tienen que responder a la fórmula anterior. Hay amigos que no responden a esta expresión como los números 1184 y 1210 que fueron descubiertos por un niño italiano Niccoló Paganini de 16 años en 1886. Este par se les había pasado por alto a los grandes matemáticos.
Los programas informáticos permiten en la actualidad obtener muchos números amigos En la página web http://www.terra.es/personal8/jparrilla8 se encuentra un programa informático para localizar pares de números amigos y números perfectos, que podríamos decir, que son amigos de ellos mismos.
.
Algún autor ha intentado generalizar la idea definiendo números sociables. Tres o más números se dice que son sociables si la suma de los divisores del primero da el segundo, los del segundo, el tercero, y los del último el primero. Un posible ejercicio es encontrar números sociables.
Bibliografía:
DUNHAM W. Euler. El maestro de todos los matemáticos. Nivols. Madrid. 2000.
CONZÁLEZ URBANEJA, PM. Pitágoras, El filósofo del número. Nivola. Madrid. 2001.
MALVA TAHAN. El hombre que calculaba. Verón. Barcelona. 1972 |
|
|
|
   |
|
|
|
|
|
|
