|
|
 |
 |
|
 |
|
|
|
(Mar. 04) Millonario gracias a las matemáticas
FERNANDO GARCÍA PASTOR |
|
|
|
El matemático ruso Grigori Perelman ha propuesto una solución a uno de los siete problemas del concurso Millennium Prize Problem, dotados con un premio de un millón de dólares, en concreto el conocido como la Conjetura de Poincaré. |
|
|
|
|
|
|
|
Por un millón de dólares
Los premios del Instituto de Matemáticas Clay, de Cambridge, Massachussets, premian la resolución de uno de siete problemas matemáticos fundamentales con un millón de dólares. No obstante, parece que en algunos casos la principal motivación no es la dotación económica del premio sino el interés de los matemáticos por resolver los desafíos que se plantean, ayudando al desarrollo de las matemáticas y, al mismo tiempo, de otras ciencias, sin olvidar que el matemático que los resuelve consigue el reconocimiento profesional y pasa a formar parte de la historia de las matemáticas. Este parece ser el caso de Grigori Perelman, matemático ruso del Instituto Steklov de Matemáticas de la Academia Rusa en San Petersburgo, que puede haber resuelto uno de los siete “Problemas del Milenio”, la Conjetura de Poincaré.
La Conjetura de Poincaré
La Conjetura de Poincaré es uno de los problemas más importantes de la Topología Geométrica; si medimos esta importancia por la gran cantidad de intentos fallidos realizados por los matemáticos a lo largo de la historia para demostrarla, incluido el propio Poincaré y por la enorme producción de artículos sobre la cuestión, hasta el punto que Brittenham se refiere a este interés irrefrenable como la enfermedad de Poincaritis: una vez enfermos, continúan tratando de probar la conjetura de Poincaré durante aproximadamente 20 años. Ha habido una gran cantidad de topólogos famosos que han sido atacados por esta enfermedad (...) como R. H. Bing, John Stallings, John Hempel, y C. D. Papakyriakopoulos.
Para explicar la Conjetura de Poincaré vamos a servirnos de la situación siguiente: Si colocamos una goma elástica sobre la superficie de una manzana podemos desplazarla sin romperla y sin que deje de estar en contacto con la superficie de la misma hasta que se encoja en un punto. En cambio, si intentamos hacer lo mismo con una rosquilla o un donut (superficie de un toro), no conseguiremos encogerla hasta llevarla a un punto a no ser que cortemos la goma o la rosquilla. Las superficies que se comportan como la manzana se denominan simplemente conexas, la superficie rosquilla no es una de ellas. Esta propiedad puede explicarse también diciendo que las superficies simplemente conexas no poseen huecos u orificios, por ejemplo, un plano.
Por otra parte, la Topología es una disciplina que estudia las propiedades de las superficies que no son alteradas por deformaciones continuas, este concepto topológico puede explicarse de manera intuitiva si consideramos los objetos hechos de un material elástico, que puede ser estirado, contraído o retorcido, pero no rasgado ni roto. Con este criterio un plano puede deformarse hasta convertirse en un paraboloide de revolución y, un elipsoide, un balón hinchado o deshinchado, la superficie de la Tierra o de una manzana en una esfera. Para la Topología estas superficies son homeomorfas (esencialmente iguales). En cambio un donut no puede deformarse de la forma descrita anteriormente para convertirse en una esfera.
Antes de que Jules Henry Poincaré (1854-1912) enunciase su conjetura, ya se conocía que la superficie de la esfera es la única superficie de dimensión 2 cerrada y simplemente conexa. En 1904, este famoso matemático francés conjeturó que el resultado obtenido para la esfera en el espacio de dimensión 3 tenía uno análogo para la esfera de dimensión 3 (conjunto de puntos de un espacio de 4 dimensiones que se encuentran a la misma distancia del centro) en el espacio de dimensión 4.
La Conjetura puede expresarse en términos más precisos a partir del concepto de variedad diferenciable o simplemente variedad (para referirnos a las superficies), que surge de la aplicación del concepto de función diferenciable a la Geometría: "toda variedad de dimensión 3 cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera de dimensión tres", es decir, la esfera de dimensión 3 es la única superficie cerrada sin “agujeros”.
El problema se generalizó para espacios de cualquier dimensión (n+1) y, aunque parezca sorprendente, fue demostrada para todas las dimensiones excepto para dimensión 4; Erik Christopher Zeeman para n=5 en1925, Stephen Smale para n≥7 en 1930, John R. Stallings para n=6 en 1962 y Michael Hartley Freedman para n=4 en 1951.
La solucion de Grigori Perelman
En noviembre de 2002 corrió el rumor en Internet de que Grigori Perelman (“Grisha”) había publicado en arXiv una solución a la Conjetura; arXiv es un sistema electrónico y automático de distribución de artículos de investigación (preprint) en diversos campos (física, matemáticas, etc.) sin revisión editorial, lo que reduce ampliamente el coste.
En efecto, después de ocho años de trabajo en solitario, el 11 de noviembre de 2002, Perelman publicó un preprint anunciando una demostración de la Conjetura de Geometrización de Thurston, propuesta por el matemático William Thurston en 1946 y que implica a la de Poincaré. Más tarde, el 10 de marzo de 2003 publicó algunas mejoras a su trabajo.
En abril de 2003 realizó un ciclo de conferencias en el Massachussets Institute of Technology, a las que asistieron más de cien matemáticos incluidos los de más prestigio internacional como John Nash, premio Nobel que inspiró la película “Una Mente maravillosa” y Andrew Wiles que probó el Último Teorema de Fermat.
Para poder optar al premio es necesario que publique su trabajo en una revista científica y supere dos años de revisiones de la comunidad matemática. No obstante, James Carlson, presidente del Instituto Clay afirmó que aunque el trabajo ha sido publicado en Internet podrá optar al premio si transcurrido el plazo anteriormente mencionado no se encuentra fallo alguno en su demostración.
La demostración de la Conjetura podría ayudar a comprender la forma del cosmos o a catalogar todas las formas tridimensionales del universo.
Bibliogafía
Brittenham, M., The Poincaré Conjecture: Its Past, Present, and Future
Perelman, G., The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, arXiv e–Print Archive, 11 de noviembre de 2002.
Perelman, G., Ricci flow with surgery on three–manifolds, arXiv e–Print Archive, 10 de marzo de 2003.
|
|
|
|
   |
|
|
|
|
|
|
